New PDF release: Mathematik mit Simulationen lehren und lernen : Plus 2000

By Dieter Röß

Mathematik ist die Sprache von Physik und Technik. Es geht nicht um die Fertigkeit in der Kunst des Rechnens - das besorgt heute der desktop -, sondern um Verstandnis von Zusammenhangen in Raum und Zeit - in praziser, eindeutiger und einsichtiger Formulierung.

Verstandnis entsteht nur aus Einsicht, nicht durch muhsames Pauken von Fachausdrucken und Regeln. Wie kann das in der hoheren Mathematik erreicht werden, die auf so abstrakten Begriffen aufbaut wie komplexen Zahlen, reellen und komplexen unendlichen Folgen und Reihen, Infinitesimalrechnung, 2-, three- und 4-dimensionalen Funktionen, konformen Abbildungen, Vektoren, linearen und nichtlinearen gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen?

Der Autor packt die Aufgabe -Lernen durch Einsicht- auf ganz praktische Weise an. Er lasst die Studierenden mit Simulationsprogrammen arbeiten, unter Visualisierung und kreativer Mitgestaltung! Er setzt das volle Arsenal multimedialer Werkzeuge ein: der lehrbuchartig aufbauende textual content ist mit zahlreichen interaktiven Rechenprogrammen verlinkt, mit denen mathematisch experimentiert wird. Wahlt guy eines der jeweils vielen vorformulierten Beispiele aus und legt seine Parameter fest, wird das blitzschnell errechnete Ergebnis 2 oder three- dimensional in seinem Zeitablauf graphisch dargestellt. Daruber hinaus konnen die konkret verwendeten Funktionen verandert oder auch nach Nutzerwunschen neu formuliert werden. Ein zunachst fur einer Potenzfunktion vierten Grades formuliertes Programm zur numerischen Berechnung der Nullstellen leistet dies z. B. auch fur eine beliebige andere, eingegebene Funktion. Jede Simulation wird begleitet von einer eingehenden Beschreibung, einer Bedienungsanleitung und zahlreichen Anregungen zum Experimentieren. Die mathematischen Simulationen basieren auf dem Programm effortless Java Simulation (EJS). Alle hiermit entwickelten Dateien sind vollig offen und obvious. Der Benutzer kann die Beispiele als Bausteine fur eigene Weiterentwicklungen benutzen. Im Anhang ist eine Kurzanleitung zu EJS enthalten.

Das Werk wird durch eine nach Sachgebieten geordnete, umfangreiche Sammlung von physikalischen Beispielen des Open resource Physics Projektes und von kosmologischen Simulationen bereichert. Hier wird ein -experimentelles Praktikum der hoheren Mathematik- prasentiert. Es ist gedacht als systematische Methoden- und Materialsammlung fur Lehrende an Hochschule und Oberstufe der Gymnasien, und als Lehrgang fur Studierende von Physik und Mathematik, einschlielich engagierter Schulerinnen und Schuler.

Die Druckversion enthalt den elektronischen textual content und die Simulationen fur den lokalen Gebrauch. Bei Fragen zum Zugriff auf die Simulationen und deren obtain wenden Sie sich bitte an [email protected].

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Die vierte Auflage bringt die Darstellung auf den neuesten Stand. Insbesondere berücksichtigt die Neuauflage grundlegende Änderungen durch den Gesetzgeber (gesetzliche Aufnahme der Rechtsprechung zur Rechtsfähigkeit der bürgerlichrechtlichen Gesellschaft; Neuordnung der Sicherungsgrundschuld durch das Risikobegrenzungsgesetz; Novelle zum WEG, hier Aufnahme der Rechtsprechung zur Rechtsfähigkeit der Wohnungseigentümergemeinschaft), aber auch das Erscheinen des Draft universal body of Reference, der die Perspektive eines sog.

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Allerdings wird die Rolle der Einheit (des „neutralen“ Elements), die dort als selbstverständlich angenommen wurde, hier explizit definiert. Wenn wir als Beispiel für die Verknüpfung in einer Gruppe die Multiplikation wählen, so sind die Regeln in der Gruppe wie folgt definiert: 1. Die Verknüpfung zweier Elemente a; b der Gruppe G ist wiederum ein Element derselben Gruppe (Abgeschlossenheit): a b D c 2 G. 2. a b/ c (Assoziativität). 3. Es gibt ein neutrales Element e in der Gruppe G, für welches gilt: a e D e a D a.

Für 0 < a < 1 werden die Glieder der Folge immer kleiner, ihr Grenzwert ist Null. 1 a/, der größer als 1 ist. 1 C jaj/, der kleiner als 1 ist. 1 1 C 1 1 ˙ ) ist entweder 1 oder 0, je nachdem bei welchem Index man sich befindet. Daher existiert kein Limes. Für a < 1 haben die Glieder der Folge, wie auch die Teilsummen mit zunehmendem Index bei wachsendem Absolutwert alternierende Vorzeichen. Der Absolutwert strebt gegen Unendlich, Folge und Reihe selbst haben keinen Limes. Die nachfolgende Simulation zeigt das Verhalten von geometrischer Folge und Reihe in Abhängigkeit vom Parameter a, der mit einem Schieberegler eingestellt werden kann.

Die Zahl ist hierbei der Operand, auf den eine bestimmte Operation angewandt wird (arithmetische Operationen wie C, , * , =, ˆ, D, >, <, . . oder logische Operationen wie UND, ODER, NICHT, WENN-DANN, SONST, . . ). Die Definitionen der Zahlen und Rechenoperationen sind bis hin zu den komplexen Zahlen so aufeinander abgestimmt, dass für Zahlen z stets die folgenden Grundregeln arithmetischer Operationen gelten. Dabei bedeutet . /, dass die Operation in Klammern zuerst ausgeführt wird. D zˆ3/I : : : : In den folgenden Abschnitten werden wir jeweils einen Zahlenbereich vorstellen.

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